[대학수학] 미적분학 제1기본

함수 ${\displaystyle f}$가 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]}$에서 연속이면, 함수 ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$는 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]}$에서 연속이며 열린구간 ${\displaystyle (a,b)}$에서 미분이 가능하고, 함수 ${\displaystyle F}$의 도함수는 ${\displaystyle f}$이다.

제1 기본 정리의 증명

함수 ${\displaystyle F}$에 미분의 정의를 바로 적용한다.

${\displaystyle x,x+h\in [a,b]}$

일 때 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}F'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[\int _{a}^{x+h}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right]\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\end{aligned}}}$

적분의 평균값 정리에 의해 ${\displaystyle [x,x+h]}$ 사이의 값 ${\displaystyle c}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt=f(c)}$

${\displaystyle h}$가 작아짐에 따라 ${\displaystyle x+h}$는 ${\displaystyle x}$에 다가가고, 그러므로 ${\displaystyle c}$도 ${\displaystyle x}$에 다가간다.
함수 ${\displaystyle f}$는 주어진 구간에서 연속이므로 다음이 성립한다.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}f(c)=f(x)}$

따라서,

${\displaystyle {\begin{aligned}F'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,dt\\&=\lim _{h\to 0}f(c)\\&=f(x)\end{aligned}}}$

이다.

쉽죠?